Le but du groupe de travail est de comprendre la preuve d'un ou plusieurs théorèmes démontrés récemment par June Huh et ses collaborateurs. Il s'agit de théorèmes de combinatoire énumérative des matroïdes qui se démontrent par des méthodes de géométrie algébrique. On se concentrera sur un théorème de Adiprasito-Huh-Katz [AHK18], dont quelques corollaires concrets suivent.
Théorème [Conjecture de Mason-Welsh] : Soit \(\mathbb{K}\) un corps et \(E\subset \mathbb{K}^d\) un ensemble fini de vecteurs. Pour tout entier \(n\) on note \(f_n\) le nombre de sous-ensembles linéairement indépendants de \(E\) à \(n\) éléments. Alors on a l'inégalité, pour tout \(n\): \[f_n^2\geq f_{n-1}f_{n+1}\ .\] Dit autrement, la suite \((f_n)\) est log-concave, et donc unimodale: \[f_0\leq f_1\leq \cdots\leq f_{r-1}\leq f_r \geq f_{r+1} \geq \cdots \geq f_d\] pour un certain indice \(r\).
Théorème [Conjecture de Hoggar-Read] : Soit \(G\) un graphe à \(d\) sommets. Pour tout entier \(q\), soit \(\chi_G(q)\) le nombre de coloriage des sommets de \(G\) avec \(q\) couleurs tels que deux sommets adjacents dans \(G\) aient des couleurs différentes. C'est un polynôme en \(q\), qu'on appelle le polynôme chromatique de \(G\): \[\chi_G(q)=\sum_{n=0}^d (-1)^{d-n} a_n\, q^n\ ,\] où les nombres \(a_n\) sont des entiers positifs. Alors la suite \((a_n)\) est log-concave, et donc unimodale.
Plus généralement, les théorèmes s'énoncent naturellement en terme de matroïdes, qui généralisent les ensembles de vecteurs et les graphes.
Huh et Wang ont récemment prouvé [HW17] une version de la conjecture de Rota-Welsh (une vaste généralisation du théorème classique de de Bruijn et Erdős) en utilisant une variante de ce genre d'idée où la cohomologie d'intersection joue cette fois un rôle central.
La stratégie de preuve est très similaire à celle utilisée récemment par Williamson et Elias-Williamson pour démontrer des résultats stupéfiants de théorie des représentations, voir [Wil16, Ric17].