Monge-Ampère Réel et Géométrie Kählérienne des Espaces Homogènes

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La première rencontre de l'ANR MARGE Young researchers in Kähler and Hermitian geometry aura lieu à Montpellier les 2-3 juin 2022.

Deux années de postdoc sont à pourvoir, avec une date de début négociable. N'hésitez pas à me contacter par mail pour plus d'informations.

Résumé du projet

Le projet MARGE est un projet de Mathématiques fondamentales sur l’existence de métriques canoniques, un sujet central en géométrie complexe. La quête de métriques canoniques sur les variétés complexes consiste en une généralisation naturelle des aspects métriques du théorème d'uniformisation de Riemann. Les avancées majeures dans ce domaine ont toujours été précédées ou accompagnées d’exemples, qui ont fourni des indices de méthodes, ou des illustrations de phénomènes menant à d’autres recherches.

Dans le cas des métriques de Kähler-Einstein comme des métriques extrémales de Calabi, les variétés équippées d'une action d'un groupe de Lie complexe ont joué un rôle clé. Dans des travaux fondateurs de Calabi, Koiso-Sakane, etc, les variétés de cohomogénéité un pour lesquelles la géométrie s'interprète sur des fonctions d'une seule variable, comme les variétés de Hirzebruch, ont fournit des premiers exemples non triviaux. Dans des travaux de Donaldson, Wang-Zhu, etc, ce sont les variétés toriques qui ont permi de prouver des caractérisations effectives de l'existence ou non de métriques canoniques.

Le premier objectif du projet est d’explorer une nouvelle génération d’exemples, les variétés presque-homogènes, de comprendre leur géométrie Kählérienne, de construire de nouvelles métriques canoniques et d’exhiber de nouveaux comportements pathologiques. D’après les premiers progrès dans cette direction, il apparaît évident que la relation entre équations de Monge-Ampère complexes et réelles joue un rôle clé pour cela, donc notre second objectif sera d’étudier ces relations.

Les travaux antérieurs du coordinateur, Thibaut Delcroix, sur la géométrie Kählérienne et algébrique complexe des variétés sphériques, qui contiennent à la fois les variétés toriques et de cohomogénéité un, forment les fondations du projet. Les tâches à réaliser pendant le projet seront diverses : pousser plus avant la compréhension de ces variétés sphériques pour prouver une conjecture de Yau-Tian-Donaldson effective sur ces variétés, construire de nouvelles métriques de Calabi-Yau sur des espaces homogènes non-compacts, interpréter géométriquement l'absence de métriques de Kähler-Einstein ou de métriques Kählériennes à courbure scalaire constante nulle via des flots géométriques, obtenir une construction d'ansatz de Calabi non-abéliens et relier les notions de stabilité d'une variété munie d'une action de groupe continu à son quotient, transférer les techniques récentes d'études des équations de Monge-Ampère complexe dégénérées à leurs analogues réels avec des applications possibles à la conjecture SYZ, et participer au développement de l'étude des variétés non-Kählériennes avec une approche par les exemples.

Une part importante du financement sera dédiée au recrutement de postdocs et de stagiaires de Master, qui viendront renforcer l’équipe initialement composée de cinq jeunes chercheurs aux talents complémentaires en géométrie différentielle et algébrique complexe, géométrie symplectique, analyse géométrique et théorie de Lie. Des rencontres régulières et une conférence internationale seront également organisées.